Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Сфера Урок-лекция по теме: Геометрия –11 класс 5klass.net

План презентации Определение сферы, шара. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Площадь сферы. Итог урока. Опр.окр.

Окружность и круг Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. r d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус; d – диаметр Опр. сферы

Определение сферы R Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О). Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра. т. О – центр сферы О D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. D = 2R Параллель (экватор) меридиан диаметр шар R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

Шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Исторические сведения о сфере и шаре Оба слова « шар » и « сфера » происходят от греческого слова «сфайра» - мяч. В древности сфера и шар были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы. Пифагорейцы в своих полумистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы». Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер. Сфера, шар всегда широко применялись в различных областях науки и техники. д/з прим.

Как изобразить сферу? R 1. Отметить центр сферы (т.О) 2. Начертить окружность с центром в т.О 3. Изобразить видимую вертикальную дугу (меридиан) 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу 5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель) 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу 7. Провести радиус сферы R О ур. окр.

Уравнение окружности С(х 0 ;у 0) М(х;у) х у О следовательно уравнение окружности имеет вид: (x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 = r 2 Зададим прямоугольную систему координат О xy Построим окружность c центром в т. С и радиусом r Расстояние от произвольной т. М (х;у) до т.С вычисляется по формуле: МС = (x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 МС = r , или МС 2 = r 2

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5 , записать уравнение сферы. Решение так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0) имеет вид (х-х 0) 2 + (у-у 0) 2 + (z-z 0) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 , то уравнение данной сферы (x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: (x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 ур. сферы

Уравнение сферы (x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 + (z – z 0) 2 = R 2 х у z М(х;у;z) R Зададим прямоугольную систему координат О xyz Построим сферу c центром в т. С и радиусом R МС = (x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 + (z – z 0) 2 МС = R , или МС 2 = R 2 C(x 0 ;y 0 ;z 0) следовательно уравнение сферы имеет вид:

Взаимное расположение окружности и прямой r d Если d r Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d > r , то прямая и окружность не имеют общих точек. Возможны 3 случая Сфера и плоск

α C (0 ;0; d) Взаимное расположение сферы и плоскости В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая… х у z O Введем прямоугольную систему координат Oxyz Построим плоскость α , сов-падающую с плоскостью Оху Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α .

α C (0 ;0; d) Сечение шара плоскостью есть круг. х у z O r Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 1 случай d

α C (0 ;0; d) d = R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку х у z O Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 2 случай

α C (0 ;0; d) d > R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. х у z O Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 3 случай

Задача 2. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения. Дано: Шар с центром в т.О R=41 дм α - секущая плоскость d = 9 дм М К О R d Найти: r сеч = ? Решение: Рассмотрим ∆ ОМК – прямоугольный ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r , r = R 2 - d 2 по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = 41 2 - 9 2 = 16 81 - 81=1600 отсюда r сеч = 4 0 дм Ответ: r сеч = 4 0 дм r

Площадь сферы Площадь сферы радиуса R: S сф =4 π R 2 Сферу нельзя развернуть на плоскость. Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней. За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга S шара =4 S круга

Задача 3. Найти площадь поверхности сферы, радиус которой = 6 см. Дано: сфера R = 6 см Найти: S сф = ? Решение: S сф = 4 π R 2 S сф = 4 π 6 2 = 144 π см 2 Ответ: S сф = 144 π см 2

Итог урока определением сферы, шара; уравнением сферы; взаимным расположением сферы и плоскости; площадью поверхности сферы. Сегодня вы познакомились с.

Слайд 2

Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром, а заданное расстояние – радиусом сферы, или шара – тела, ограниченного сферой. Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки.

Слайд 3

Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через центр, называется диаметром шара, а концы этого отрезка – диаметрально противоположными точками шара.

Слайд 4

Чему равно расстояние между диаметрально противоположными точками шара, если известна удаленность точки, лежащей на поверхности шара от центра? ? 18

Слайд 5

Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.

Слайд 6

Пусть известна площадь полукруга. Найдите радиус шара, который получается вращением этого полукруга вокруг диаметра. ? 4

Слайд 7

Теорема. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга.

Дано: Доказать:

Слайд 8

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр шара, основание перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость, и произвольная точка сечения.

Слайд 9

Следствие. Если известны радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения, то радиус сечения вычисляется по теореме Пифагора.

Слайд 10

Пусть известны диаметр шара и расстояние от центра шара до секущей плоскости. Найдите радиус круга, получившегося сечения. ? 10

Слайд 11

Чем меньше расстояние от центра шара до плоскости, тем больше радиус сечения.

Слайд 12

В шаре радиуса пять проведен диаметр и два сечения, перпендикулярных этому диаметру. Одно из сечений находится на расстоянии три от центра шара, а второе – на таком же расстоянии от ближайшего конца диаметра. Отметьте то сечение, радиус которого больше. ?

Слайд 13

Задача.

На сфере радиуса R взяты три точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной а. На каком расстоянии от центра сферы расположена плоскость, проходящая через эти три точки? Дано: Найти:

Слайд 14

Рассмотрим пирамиду с вершиной в центре шара и основанием – данным треугольником. Решение:

Слайд 15

Найдем радиус описанной окружности, а затем рассмотрим один из треугольников, образованных радиусом, боковым ребром пирамиды и высотой,. Найдем высоту по теореме Пифагора. Решение:

Слайд 16

Наибольший радиус сечения получается, когда плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом. Большой круг делит шар на два полушара.

Слайд 17

В шаре, радиус которого известен, проведены два больших круга. Какова длина их общего отрезка? ? 12

Слайд 18

Плоскость и прямая, касательные к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Слайд 19

Пусть шар, радиус которого известен, лежит на горизонтальной плоскости. В этой плоскости через точку касания и точку В проведен отрезок, длина которого известна. Чему равно расстояние от центра шара до противоположного конца отрезка? ? 6

Слайд 20

Прямая называется касательной, если она имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Через любую точку сферы можно провести бесчисленное множество касательных прямых.

Слайд 21

Дан шар, радиус которого известен. Вне шара взята точка, и через нее проведена касательная к шару. Длина отрезка касательной от точки вне шара до точки касания также известна. На каком расстоянии от центра шара расположена внешняя точка? ? 4

Слайд 22

Стороны треугольника 13см, 14см и 15см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося сторон треугольника. Радиус шара равен 5 см. Задача. Дано: Найти:

Слайд 23

Сечение сферы, проходящее через точки касания, - это вписанная в треугольник АВС окружность. Решение:

Слайд 24

Вычислим радиус окружности, вписанной в треугольник. Решение:

Слайд 25

Зная радиус сечения и радиус шара, найдем искомое расстояние. Решение:

Слайд 26

Через точку на сфере, радиус которой задан, проведен большой круг и сечение, пересекающее плоскость большого круга под углом шестьдесят градусов. Найдите площадь сечения. ? π

Слайд 27

Взаимное расположение двух шаров.

Если два шара или сферы имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Их общая касательная плоскость перпендикулярна линии центров (прямой, соединяющей центры обоих шаров).

Слайд 28

Касание шаров может быть внутренним и внешним.

Слайд 29

Расстояние между центрами двух касающихся шаров равно пяти, а радиус одного из шаров равен трем. Найдите те значения, которые может принимать радиус второго шара. ? 2 8

Слайд 30

Две сферы пересекаются по окружности. Линия центров перпендикулярна плоскости этой окружности и проходит через ее центр.

Слайд 31

Две сферы одного радиуса, равного пяти, пересекаются, а их центры находятся на расстоянии восьми. Найдите радиус окружности, по которой сферы пересекаются. Для этого необходимо рассмотреть сечение, проходящее через центры сфер. ? 3

Слайд 32

Вписанная и описанная сферы.

Сфера (шар) называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере.

Слайд 33

Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды, вписанной в сферу? ?

Слайд 34

Сфера называется вписанной в многогранник, в частности, в пирамиду, если она касается всех граней этого многогранника (пирамиды).

Слайд 35

В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, основание и боковые стороны известны. Все боковые ребра пирамиды равны 13. Найти радиусы описанного и вписанного шаров. Задача. Дано: Найти:

Слайд 36

I этап.Нахождение радиуса вписанного шара.

1) Центр описанного шара удален от всех вершин пирамиды на одинаковое расстояние, равное радиусу шара, и в частности, от вершин треугольника АВС. Поэтому он лежит на перпендикуляре к плоскости основания этого треугольника, который восстановлен из центра описанной окружности. В данном случае этот перпендикуляр совпадает с высотой пирамиды, поскольку ее боковые ребра равны. Решение.

Шар и сфера

Шар - геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара . Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара , а его оба конца - полюсами шара . Поверхность шара называется сферой .

Примеры тел, имеющих форму шара или сферы:

• Купол здания может иметь форму части сферы, отсеченной плоскостью.

• Земля имеет форму, близкую к шару.

• Мячи для игры в футбол, теннис имеют форму шара.

Ваши примеры:

• Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом . Другие плоские сечения шара называются малыми кругами
• Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности (сферы), называется радиусом .
• Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром .

• Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
• Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью .

• Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
• Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии .

Основные формулы

Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Задачи по теме «Шар и сфера»

1.Радиус сферы увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится площадь сферы?

2.Шар, радиуса 41 дм пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

3. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга.

4. Радиус шара R . Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60 0 к нему. Найти площадь сечения.

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Cлайд 9

Cлайд 10

Cлайд 11

Cлайд 12

Cлайд 13

Cлайд 14

Cлайд 15

Cлайд 16

Слайд 1

Сфера и шар.

Слайд 2

Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром, а заданное расстояние – радиусом сферы, или шара – тела, ограниченного сферой. Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки.

Слайд 3

Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через центр, называется диаметром шара, а концы этого отрезка – диаметрально противоположными точками шара.

Слайд 4

Чему равно расстояние между диаметрально противоположными точками шара, если известна удаленность точки, лежащей на поверхности шара от центра?
?
18

Слайд 5

Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.

Слайд 6

Пусть известна площадь полукруга. Найдите радиус шара, который получается вращением этого полукруга вокруг диаметра.
?
4

Слайд 7

Теорема. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга.
Дано: Доказать:

Слайд 8

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр шара, основание перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость, и произвольная точка сечения.

Слайд 9

Следствие. Если известны радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения, то радиус сечения вычисляется по теореме Пифагора.

Слайд 10

Пусть известны диаметр шара и расстояние от центра шара до секущей плоскости. Найдите радиус круга, получившегося сечения.
?
10

Слайд 11

Чем меньше расстояние от центра шара до плоскости, тем больше радиус сечения.

Слайд 12

В шаре радиуса пять проведен диаметр и два сечения, перпендикулярных этому диаметру. Одно из сечений находится на расстоянии три от центра шара, а второе – на таком же расстоянии от ближайшего конца диаметра. Отметьте то сечение, радиус которого больше.
?

Слайд 13

Задача.
На сфере радиуса R взяты три точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной а. На каком расстоянии от центра сферы расположена плоскость, проходящая через эти три точки?
Дано: Найти:

Слайд 14

Рассмотрим пирамиду с вершиной в центре шара и основанием – данным треугольником.
Решение:

Слайд 15

Найдем радиус описанной окружности, а затем рассмотрим один из треугольников, образованных радиусом, боковым ребром пирамиды и высотой,. Найдем высоту по теореме Пифагора.
Решение:

Слайд 16

Наибольший радиус сечения получается, когда плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом. Большой круг делит шар на два полушара.

Слайд 17

В шаре, радиус которого известен, проведены два больших круга. Какова длина их общего отрезка?
?
12

Слайд 18

Плоскость и прямая, касательные к сфере.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Слайд 19

Пусть шар, радиус которого известен, лежит на горизонтальной плоскости. В этой плоскости через точку касания и точку В проведен отрезок, длина которого известна. Чему равно расстояние от центра шара до противоположного конца отрезка?
?
6

Слайд 20

Прямая называется касательной, если она имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Через любую точку сферы можно провести бесчисленное множество касательных прямых.

Слайд 21

Дан шар, радиус которого известен. Вне шара взята точка, и через нее проведена касательная к шару. Длина отрезка касательной от точки вне шара до точки касания также известна. На каком расстоянии от центра шара расположена внешняя точка?
?
4

Слайд 22

Стороны треугольника 13см, 14см и 15см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося сторон треугольника. Радиус шара равен 5 см.
Задача.
Дано: Найти:

Слайд 23

Сечение сферы, проходящее через точки касания, - это вписанная в треугольник АВС окружность.
Решение:

Слайд 24

Вычислим радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение:

Слайд 25

Зная радиус сечения и радиус шара, найдем искомое расстояние.
Решение:

Слайд 26

Через точку на сфере, радиус которой задан, проведен большой круг и сечение, пересекающее плоскость большого круга под углом шестьдесят градусов. Найдите площадь сечения.
?
π

Слайд 27

Взаимное расположение двух шаров.
Если два шара или сферы имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Их общая касательная плоскость перпендикулярна линии центров (прямой, соединяющей центры обоих шаров).

Слайд 28

Касание шаров может быть внутренним и внешним.

Слайд 29

Расстояние между центрами двух касающихся шаров равно пяти, а радиус одного из шаров равен трем. Найдите те значения, которые может принимать радиус второго шара.
?
2
8

Слайд 30

Две сферы пересекаются по окружности. Линия центров перпендикулярна плоскости этой окружности и проходит через ее центр.

Слайд 31

Две сферы одного радиуса, равного пяти, пересекаются, а их центры находятся на расстоянии восьми. Найдите радиус окружности, по которой сферы пересекаются. Для этого необходимо рассмотреть сечение, проходящее через центры сфер.
?
3

Слайд 32

Вписанная и описанная сферы.
Сфера (шар) называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере.

Слайд 33

Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды, вписанной в сферу?
?

Слайд 34

Сфера называется вписанной в многогранник, в частности, в пирамиду, если она касается всех граней этого многогранника (пирамиды).

Слайд 35

В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, основание и боковые стороны известны. Все боковые ребра пирамиды равны 13. Найти радиусы описанного и вписанного шаров.
Задача.
Дано: Найти:

Слайд 36

I этап. Нахождение радиуса вписанного шара.
1) Центр описанного шара удален от всех вершин пирамиды на одинаковое расстояние, равное радиусу шара, и в частности, от вершин треугольника АВС. Поэтому он лежит на перпендикуляре к плоскости основания этого треугольника, который восстановлен из центра описанной окружности. В данном случае этот перпендикуляр совпадает с высотой пирамиды, поскольку ее боковые ребра равны.