Прямые линии и организация пространства

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны .

Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точках, которые являются проекциями точки пересечения этих прямых.

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой, хотя проекции их могут пересекаться или быть параллельными.

Точки пересечения этих проекций не лежат на одной линии связи. Одной точке 1 v соответствуют две точки 1 н и 1" н . Эти точки лежат на одном перпендикуляре к плоскости V (Рис.2.9а, б, в).

Рис. 2.9. Взаимное положение отрезков на эпюре:

А) параллельные; б) пересекающиеся; в) скрещивающиеся

2.3.1. Конкурирующие точки

Точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими относительно этой плоскости (Рис.2.10а, б).

По конкурирующим точкам определяется видимость геометрических образов на эпюре. Видимой на данной проекции всегда будет та из конкурирующих точек, которая лежит дальше от этой плоскости проекций, следовательно, ближе к зрителю. Точки А и В являются фронтально конкурирующими. На фронтальной плоскости проекции будет видима точка А , т.к. она дальше от плоскости V и ближе к наблюдателю. Точки А и С – горизонтально конкурирующие. На горизонтальной плоскости проекций будет видима также точка А , т.к. она отстоит от плоскости Н дальше, чем точка С .

Рис. 2.10. Конкурирующие точки: а) в диметрии; б) на эпюре

2.4. Проекции плоских углов

Две пересекающиеся прямые образуют плоский угол.

Если угол расположен в плоскости, параллельной плоскости проекций, то он проецируется на нее в натуральную величину.

В общем случае плоский угол, стороны которого не параллельны плоскости проекций, проецируется на эту плоскость с искажением.

2.4.1. Теорема о проекциях прямого угла

Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере, одна из его сторон была параллельна плоскости проекций , а вторая – не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.2.11а, б).

Рис. 2.11. Проекции прямого угла на эпюре:

А) на фронтальной плоскости проекции; б) на горизонтальной плоскости проекции

Доказательство : Пусть имеем в пространстве прямой угол ВАС. Проецируем его на плоскость Н ортогонально. Предположим, что сторона АВ данного угла параллельна плоскости Н . Тогда имеем: ВАС = 90˚; АВ || Н ; АА н Н . Докажем, что В н А н С н = 90º (Рис.2.12). А н АВ = 90°, т.к. фигура АА н ВВ н – прямоугольник. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к проецирующей плоскости Q как перпендикулярная к двум прямым этой плоскости (АВ АС ; АВ АА н ). Поэтому АВ Q , но А н В н || АВ отсюда и А н В н Q , а это означает, что В н А н С н = 90º.

Рис 2.12 Проекция прямого угла

Задача: Определить расстояние от точки А до фронтали (Рис.2.13).

Решение . Прямой угол между искомым перпендикуляром и фронталью ВС проецируется в натуральную величину на плоскость V . Натуральная величина перпендикуляра АК может быть найдена методом прямоугольного треугольника.

Рис. 2.13. Определение расстояния от точки А до фронтали ВС

Прямые линии и организация пространства

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ.

Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых, расстояние от данной точки до данной прямой.

Под углом между прямыми в плоскости понимают меньший (острый) из двух смежных углов образованными этими прямыми.

Если прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у=к 1 х+b 1 и у=к 2 х+b 2, то угол φ между ними вычисляется по формуле

Условие параллельности прямых l 1 и l 2 имеет вид

а условие их перпендикулярности

k 1 = - (или k 1 k 2 = - 1)

Если прямые l 1 и l 2 заданы общими уравнениями А 1 х+B 1 y+C 1 =0 и А 2 х+B 2 y+C 2 =0,

то величина φ угла между ними вычисляется по формуле

tg φ=

угловые их параллельности

(или А 1 В 2 -А 2 В 1 =0)

Условие их перпендикулярности

А 1 А 2 +В 1 В 2 =0

Для нахождения общих точек прямых l 1 и l 2 необходимо решить систему

уравнений

А 1 х+В 1 у+С 1 =0, у=k 1 x+b 1

или

А 2 х+B 2 y+C 2 =0, у=k 2 x+b 2

При этом:

Если
, то имеется единственная точка пересечения прямых;

Если
- прямые l 1 и l 2 не имеет общей точки, т. е параллельны;

Если
-прямые имеют бесконечное множество точек т.е совпадают

Расстоянием d от точки М 0 (х 0 ;у 0) до прямой Ах+Ву+С=0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние d определяется по формуле

d=

Расстояние от точки М 0 (х 0 ;у 0) до прямой х cos + y sin- p=0 вычисляется по формуле

d=

ПРИМЕР: найти угол между прямыми:

1) y=2x-3 и y=
;

2) 2x-3y+10=0 и 5x – y+4=0;

3) y=
и 8x+6y+5=0;

4) y=5x+1 и y=5x-2;

=arctg
);

Задания для практических занятий:

1. Найти угол между прямыми:

1) у=0,5х-3 и у=2х-2;

2) 2х-3у-7=0 и 2х-у+5=0;

3) у=х+6 и 3х-2у-8=0;

4) у= 7х -1 и у=7х+1;

1) 3х+5у-9=0 и 10х-6у+4=0

2) 2х+5у-2=0 и х+у+4=0;

3) 2у=х-1 и 4у-2х+2=0;

4) х+8=0 и 2х-3=0;

5)
=1 и у=х+2;

6) х+у=0 и х-у=0

7)у+3=0 и 2х+у-1=0;

8) у=3-6х и 12х+2у-5=0;

9) 2х+3у=8 и х-у-3=0

10) х -у-1=0 и х +у+2=0

3. При каких значениях следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны.

1) 2х-3у+4=0 и х-6у+7=0;

2) х-4у+1=0 и -2х+у+2=0;

3) 4х+у-6=0 и 3х+у-2=0;

4) х- у+5=0 и 2х+3у+3=0;

4.Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0; х+2у-9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.

5. Найти уравнение прямой, проходящий через точку А (-1;2):

а) параллельно прямой у=2х-7;

б) перпендикулярно прямой х+3у-2=0.

6. Найти длину высоты ВД в треугольнике с вершинами А (4;-3); В (-2;6) и С (5;4).

7. Даны уравнения сторон треугольника: х+3у-3=0, 3х-11у-29=0 и 3х-у+11=0.

Найти вершины этого треугольника.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти острый угол между прямыми:

1) у=3х и у= - х

2) 2х-3у+6=0 и 3х-у-3=0

4) 3х+4у-12=0 и 15х-8у-45=0

2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

1) 2х-3у+4=0 и 10х+3у-6=0

2) 3х-4у+12=0 и 4х+3у-6=0

3) 25х+20у-8=0 и 5х+4у+4=0

4) 4х+5у-8=0 и 3х-2у+4=0

5) у=3х+4 и у=-3х+2

3. Найти уравнение прямой, проходящий через точку В (2;-3)

а) параллельно прямой, соединяющей точки М 1 (-4;0) и М 2 (2;2);

б) перпендикулярно прямой х-у=0.

4. Составить уравнение прямой, содержащий высоту ВД в треугольнике с вершинами

А (-3;2), В (5;-2), С (0; 4)

5. Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2х+у+4=0, х+7у-11=0 и 3х-5у-7=0.

6.Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.

7. Дан четырехугольник АВСД с вершинами А (3;5); В (6;6); С (5;3); Д (1;1). Найти:

а) координаты точки пересечения диагоналей;

б) угол между диагоналями.

8.Даны вершины треугольника А(2;-2), В (3;5), С (6;1). Найти:

1) длины сторон АС и ВС;

2) уравнения прямых, на которых лежат стороны ВС и АС;

3) уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из В;

4) длину этой высоты;

5) уравнение прямой, на которой лежит медиана проведенная из точки А;

6) длину этой медианы;

7) уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С;

8) центр тяжести треугольника;

9) площадь треугольника;

10) угол С;

Ответы к заданиям для самостоятельного решения:

1. 1) 63 0 ; 2) 37,9 0 ; 3) 31,3 0 ; 4) 81,2 0 . 2. 1)Параллельны;

2)Перпендикулярны; 3)Параллельны; 4)Пересекаются; 5)Пересекаются;

3. а)х-3у-11=0; б)х+у+1=0; 4. 3х+2у-11=0; 5. 13; 6. 7х-у=0 и 17у-28=0; 7. а)(4;4);

б); 8. 1) -5;5 2) 4х+3у-27=0,3х-4у-14=0; 3) 4х+3у-27=0; 4) 5; 5) 2х-у-6=0; 6) ; 7) х+7у-13=0; 8) (;); 9); 10)