Разделы сайта
Выбор редакции:
- Правила вычисления производных
- Иван III – Государь всея Руси
- Первые металлургические мануфактуры тульского края Где появились первые металлургические заводы
- Формирование ууд на уроках в начальной школе презентация к уроку на тему
- Презентация "герой сталинградской битвы василий григорьевич зайцев"
- Маргинал или изгой общества Кто это такой
- Студенческие строительные отряды (ссо - вссо) Движение вссо как называли в ссср
- Целебные свойства марганцовки — полезные советы
- Подготовка к егэ по обществознанию
- Гитлер в «Mein Kampf»: «Русские – великий народ» - aquilaaquilonis
Реклама
Квадратные неравенства. Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия Тема урока, введение |
Введение… ………………………………………………………… 3 1. Классификация ошибок с примерами…………………………… .…… …5 1.1. Классификация по типам задач…… ……………………… … ……….5 1.2. Классификация по типам преобразований………………………………10 2. Тесты………………………… …………………….… .…………………….12 3. Протоколы решений……………… ……….….…………… ………… 18 3.1. Протоколы неверных решений……………………………… … 18 3.2. Ответы (протоколы верных решений)………………………………….34 3.3. Ошибки, допущенные в решениях…………………………………… 51 Приложение……………………….…………………………………………… 53 Литература……………………………………………………………………….56 ВВЕДЕНИЕ “На ошибках учатся”, - гласит народная мудрость. Но для того, чтобы извлечь урок из негативного опыта, в первую очередь, необходимо увидеть ошибку. К сожалению, школьник зачастую не способен ее обнаружить при решении той или иной задачи. Вследствие чего возникла идея провести исследование, цель которого - выявить типичные ошибки, совершаемые учащимися, а также как можно более полно классифицировать их. В рамках этого исследования был рассмотрен и прорешен большой набор задач из вариантов апрельского тестирования, тестов и письменных заданий вступительных экзаменов в ОмГУ, различных пособий и сборников задач для поступающих в вузы, внимательно изучены материалы заочной школы при НОФ ОмГУ. Полученные данные подверглись подробному анализу, при этом большое внимание было уделено логике решений. На основе этих данных были выделены наиболее часто допускаемые ошибки, то есть типичные. По результатам этого анализа была сделана попытка систематизировать характерные ошибки и классифицировать их по типам преобразований и типам задач, среди которых были рассмотрены следующие: квадратные неравенства, системы неравенств, дробно-рациональные уравнения, уравнения с модулем, иррациональные уравнения, системы уравнений, задачи на движение, задачи на работу и производительность труда, тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, планиметрия. Классификация сопровождается иллюстрацией в форме неверных протоколов решений, что дает возможность помочь школьникам развить умение проверять и контролировать себя, критически оценивать свою деятельность, находить ошибки и пути их устранения. Следующим этапом стала работа с тестами. Для каждой задачи были предложены пять вариантов ответов, из которых один верный, а остальные четыре неверные, но взяты не случайным образом, а соответствуют решению, в котором допущена конкретная стандартная для задач данного типа ошибка. Это дает основание для прогнозирования степени “грубости” ошибки и развития основных мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение). Тесты имеют следующую структуру: Коды ошибок делятся на три вида: ОК – верный ответ, цифровой код - ошибка из классификации по типам задач, буквенный код – ошибка из классификации по типам преобразований. Их расшифровку можно посмотреть в главе 1. Классификация ошибок с примерами. Далее были предложены задания найти ошибку в решении. Эти материалы были использованы при работе со слушателями заочной школы при НОФ ОмГУ, а также на курсах повышения квалификации учителей г.Омска и Омской области, проводимых НОФ ОмГУ. В перспективе на основе проделанной работы можно создать систему контроля и оценки уровня знаний и умений тестируемого. Появляется возможность выявить проблемные области в работе, зафиксировать удачные методы и приемы, проанализировать, какое содержание обучения целесообразно расширить. Но для наибольшей эффективности этих методов необходима заинтересованность учащегося. С этой целью мной совместно с Чубрик А.В. и был разработан небольшой программный продукт, генерирующий неверные решения линейных и квадратных уравнений (теоретическая база и алгоритмы – я и Чуубрик А.В., помощь в реализации – студент гр. МП-803 Филимонов М.В.). Работа с данной программой дает школьнику возможность выступить в роли учителя, учеником которого является компьютер. Полученные результаты могут послужить началом более серьезного исследования, которое в ближайшей и отдаленной перспективе сможет внести необходимые корректировки в систему обучения математике. 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК С ПРИМЕРАМИ 1.1. Классификация по типам задач 1. Алгебраические уравнения и неравенства. 1.1. Квадратные неравенства. Системы неравенств: 1.1.1. Неправильно найдены корни квадратного трехчлена: неверно использована теорема Виета и формула для нахождения корней; 1.1.2. Неправильно изображен график квадратного трехчлена; 1.1.3. Неправильно определены значения аргумента, при которых неравенство выполняется; 1.1.4. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину; 1.1.5. В системах неравенств неправильно взято пересечение решений всех неравенств; 1.1.6. Неправильно включены или не включены концы интервалов в окончательный ответ; 1.1.7. Округление. 1.2. Дробно-рациональные уравнения: 1.2.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ: не учтено, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю; ОДЗ: . 1.2.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ; Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство , давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным. Запомните! Неравенство называют квадратным , если старшая (наибольшая) степень неизвестного «x » равна двум. Потренируемся определять тип неравенства на примерах. Как решить квадратное неравенствоВ предыдущих уроках мы разбирали, как решать линейные неравенства . Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом. Важно! Решать квадратное неравенство таким же образом как и линейное нельзя ! Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов . Что такое метод интерваловМетодом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название. Запомните! Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно: Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше. Требуется решить квадратное неравенство. Теперь, как сказано в , нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками. Проставим знаки внутри интервалов. Справа налево чередуя, начиная с «+ », отметим знаки. Нам осталось только выполнить , то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству. Так как в нашем неравенстве «x 2 + x − 12 » , значит, нам требуются отрицательные интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ. Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами
«−3
» и «4
», поэтому
запишем его в ответ в виде двойного неравенства Запишем полученный ответ квадратного неравенства. Ответ: −3 К слову сказать, именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название. После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения. Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа «−3 » и подставим его вместо «x » в исходное неравенство. Если мы получим верное неравенство, значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно. Возьмем, например, из интервала число «0 ». Подставим его в исходное неравенство «x 2 + x − 12 ». X 2 + x − 12 Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно. Краткая запись решения методом интерваловСокращенно запись решения квадратного неравенства «x 2 + x − 12 » методом интервалов будет выглядеть так: X 2 + x − 12
Ответы помещают на обратной стороне, посмотреть их можно после того, как прошло отведенное время. Удобнее всего эту работу провести в начале урока по сигналу учителя. (Внимание, приготовились, начали). По команде “Стоп” работа прерывается. Время работы определяется в зависимости от уровня подготовки класса. Рост скорости показатель работы ученика. Умение решать квадратные неравенства пригодится учащимся и при сдаче ЕГЭ. В задачах группы B все чаще встречаются задания связанные с умением решать квадратные неравенства. Например: Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой (h- высота в метрах,t-время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров. Для решения необходимо составлять неравенство: 5t 2 +18t-9≥0 Ответ:2,4 с Начиная давать учащимся, примеры из ЕГЭ уже в 9-ом классе на этапе изучения материала, мы уже готовим к сдаче экзамена, решение квадратных неравенств содержащих параметр дает возможность решать задачи из группы C. Не формальный подход к изучению темы в 9 классе, облегчает усвоение материала в курсе “Алгебра и начала анализа” по таким темам как “Применение производной” “Решение неравенств методом интервалов” “Решение логарифмических и показательных неравенств” “Решение иррациональных неравенств”. |
Популярное:
Как решать уравнения с модулем |
Новое
- Иван III – Государь всея Руси
- Первые металлургические мануфактуры тульского края Где появились первые металлургические заводы
- Формирование ууд на уроках в начальной школе презентация к уроку на тему
- Презентация "герой сталинградской битвы василий григорьевич зайцев"
- Маргинал или изгой общества Кто это такой
- Студенческие строительные отряды (ссо - вссо) Движение вссо как называли в ссср
- Целебные свойства марганцовки — полезные советы
- Подготовка к егэ по обществознанию
- Гитлер в «Mein Kampf»: «Русские – великий народ» - aquilaaquilonis
- Бои на Халхин-Голе (1939)