Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значе­ния может характеризовать совершенно различные выборки.

Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости ) результатов .

1. Размах вариации

Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется

R =X max - X min .

Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах вы­борки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов.

2. Дисперсия

Определение. Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического.

Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле

где Х i – значение признака, - среднее арифметическое.

Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле

,

где х i – среднее значение i интервала группировки, n i – частоты интервалов.

Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округ­лении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая фор­мула:

 2 =
,

для сгруппированных данных:

.

Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы.

В тех случаях, когда среднее арифметическое и дисперсия вычисляются од­новременно, используются формулы:

для несгруппированных данных:

 2 =
,

для сгруппированных данных:

.

3. Среднее квадратическое (стандартное ) отклонение

Определение. Среднее квадратическое (стандартное ) отклонение характе­ризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах, т. к. в отличие от дисперсии имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Иначе говоря, стандартное отклонение показывает плотность распределения результатов в группе около среднего значения, или однородность группы.

Для несгруппированных данных стандартное отклонение можно определить по формулам

 =
,

 =
или =
.

Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формулам:

,

или
.

4. Ошибка средней арифметической (ошибка средней)

Ошибка средней арифметической характеризует колеблемость средней и вычисляется по формуле:

.

Как видно из формулы, с увеличением объёма выборки ошибка средней уменьшается пропорционально корню квадратному из объёма выборки.

5. Коэффициент вариации

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах:

.

Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, то есть полученной из одной генеральной совокупности.

Основными характеристиками рассеивания, применяемых для оценки вариации величин относительно выборочной средней, являются дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.

1. Дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние ) – среднее арифметическое из квадратов отклонений величин x i от их среднего арифметического.

Дисперсия (D) - мера рассеивания (отклонения от среднего), определяется следующим образом - из каждого варианта вычитают среднюю арифметическую, разность возводят в квадрат и умножают на соответствующую ей частоту. Далее определяют сумму всех произведений и делят её на объём совокупности:

Для сгруппированных данных дисперсию определяют:

Размерность дисперсии не совпадает с единицами измерения варьирующего признака.

При решении практических задач помимо использования формул расчета выборочной дисперсии используется величина, которая называется исправленной дисперсией . Дело в том, что значение выборочной дисперсии дает заниженные значения по отношению к действительной дисперсии, поэтому при малых выборках (n < 30) необходимо применять исправленную дисперсию и среднеквадратическое отклонение :

или

2. Выборочное и исправленное среднеквадратическое отклонение (σ, s) – корень квадратный из дисперсии. Размерность среднеквадратического отклонения в отличие от размерности дисперсии совпадает с единицами измерения экспериментальных данных, поэтому его в основном используют для характеристики рассеивания изучаемого признака.

Приведем расчет дисперсии (табл. 5) для примера 1.

Таблица 5

Промежуточные вычисления расчета дисперсии

Дисперсия для сгруппированных данных примера равна:

Среднеквадратическое отклонение соответственно равно:

Исправленное среднеквадратическое отклонение равно:

Заметим, что формулы для вычисления выборочной и исправленной дисперсий отличаются только знаменателями. При достаточно больших n выборочная и исправленная дисперсии мало отличаются, поэтому на практике исправленной дисперсией пользуются, если n < 30 .

3. Коэффициент вариации (v) – является относительной мерой рассеивания признака, используется как показатель однородности выборочных наблюдений (табл. 6).

Коэффициент вариации - это отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах. Кроме того, коэффициент вариации часто используется при сопоставлении (сравнении) степени варьирования различных признаков, выраженных в различных единицах измерения.

Для определения характера рассеивания безразмерный коэффициент вариации v рассчитывают по формуле:

,

где σ – среднеквадратическое отклонение;

Среднее арифметическое выборочных данных.

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«МАТИ»-Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского

Кафедра «Технология производства двигателей летательных аппаратов»

Лабораторный практикум

MATLAB. Занятие 2

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Составители:

Курицына В.В.

Москва 2011

ВВЕДЕНИЕ

В арсенале средств, которыми должен владеть современный экспериментатор, статистические методы обработки и анализа данных занимают особое место. Это связано с тем, что результат любого, достаточно сложного эксперимента не может быть получен без обработки экспериментальных данных.

Аппарат теории вероятности и математической статистики разработан и применяется для описания закономерностей, присущих массовым случайным событиям. Каждому случайному событию сопоставляется соответствующая случайная величина (в данном случае результат эксперимента).

Для описания случайных величин используются следующие характеристики:

а) числовые характеристики случайной величины (например, математической ожидание, дисперсия, …);

б) закон распределения случайной величины – функция, несущая всю информацию о случайной величине.

Числовые характеристики и параметры закона распределения случайной величины связаны между собой определенной зависимостью. Часто по значению числовых характеристик можно предположить закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины обычно называется функция распределения вероятностей принятия случайной величиной того или иного значения. Это функция, которая ставит в соответствие возможным интервальным значениям случайной величины вероятность попадания ее в эти интервалы.

ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Характеристика положения центра группирования случайных величин

В качестве числовых характеристик положения центра группирования случайных величин используют математическое ожидание или среднее значение, моду и медиану случайной величины (рис.3.1. ).

Математическое ожидание случайной величины Y обозначают через М Y или a и определяют по формуле:

a = MY = ∫ Yϕ (Y ) dY .

Математическое ожидание указывает на положение центра группирования случайных величин, или положение центра масс площади под кривой. Математическое ожидание является числовой характеристикой случайной величины, то есть является одним из параметров функции распределения.

ϕ (Y ϕ (Y)max

Рис. 3.1. Характеристики группирования случайной величины X

Модой случайной величины Y является такое значение Мo Y , в котором плотность вероятности имеет максимальное значение.

Медианой случайной Y служит значение Ме Y , которое соответствует условию:

P (Y < МеY ) = P (Y > MeY ) = 0,5 .

Геометрически медиана представляет абсциссу точек прямой, которая делит площадь, ограниченную кривой плотности вероятности пополам.

Характеристики рассеяния случайной величины

Одной из основных характеристик рассеяния случайной величины Y около центра распределения служит дисперсия , которая обозначается D(Y) или σ 2 и определяется по формуле:

D(Y ) = σ 2 = ∫ (Y − a) 2 ϕ (Y ) dY .

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Часто вместо дисперсии за меру рассеивания случайной величины используют положительное значение квадратного корня из дисперсии, которое называется средним квадратичным отклонением или стандартным отклонением :

σ = D (Y ) = σ 2 .

Как и дисперсия, среднеквадратичное отклонение характеризует разброс величины вокруг математического ожидания.

В практике широко применяют также характеристику рассеивания, называемую коэффициентом вариации ν , который представляет отношение среднего квадратичного отклонения к математическому ожиданию:

ν = σ a 100% .

Коэффициент вариации показывает, насколько велико рассеяние по сравнению со средним значением случайной величины.

Характеристики выборки наблюдений

Среднее значение наблюдаемого признака можно оценить по формуле

Y = 1 ∑ n Y i ,

n i = 1

где Yi – значение признака в i -м наблюдении (опыте), i=1...n. ; n – количество наблюдений.

Выборочное среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:

ν = Y S .

Зная коэффициент вариации ν , можно определить показатель точности Н по формуле:

H = ν n .

Чем точнее проведено исследование, тем меньше будет величина показателя

В зависимости от природы изучаемого явления показатель точности исследования считается достаточным, если он не превышает 3÷5%.

Не редки случаи, когда в результаты эксперимента вкрадывается грубая погрешность . Существует несколько способов оценки грубых погрешностей. Наиболее простой основан на вычислении максимального относительного отклонения U . Для этого результаты измерения располагают в ряд монотонно возрастающих значений. Проверке на грубую погрешность подлежит наименьший Y min или наибольший Y max член ряда. Расчет проводят по формулам:

Значение U сравнивают с табличным значением для данной доверительной вероятности U α . Если U ≤ U α , то в данном наблюдении нет грубой погрешности. В противном случае результат наблюдения отсеивают и

производят перерасчет Y и S . Затем повторяют процедуру оценки и исключения грубых погрешностей до тех пор, пока не будет выполняться неравенство U ≤ U α для крайних членов ряда.

Во многих случаях результаты статистических наблюдений могут быть описаны теоретическими законами распределения . При интерпретации данных, полученных экспериментальным путем возникает задача – определить такой теоретический закон распределения случайной величины, который наилучшим образом соответствует результатам наблюдений. Более конкретно эта задача сводится к проверке гипотезы о принадлежности случайной выборки к некоторому закону распределения.

Разные по природе анализируемые процессы обуславливают области применения различных законов распределения. Так результат технологического эксперимента при одних и тех же условиях обработки подчиняется и результат эксперимента по бросанию монеты с орлом и решкой подчиняются совершенно разным законам. Законы распределения случайной величины характеристик надежности, отказов так же имеют особенности.

К основным статистическим характеристикам ряда измерений (вариацион­ного ряда) относятся характеристики положения (средние характе­ристики, или центральная тенденция выборки ); характеристики рассеяния (ва­риации, или колеблемости ) и характеристики формы распределения.

К характеристикам положения относятся среднее арифметическое значе­ние (среднее значение ), мода и медиана.

К характеристикам рассеяния (вариации, или колеблемости ) относятся: размах вариации , дисперсия , среднее квадратическое (стандартное ) отклонение , ошибка средней арифметической (ошибка средней ), коэффициент вариации и др.

К характеристикам формы относятся коэффициент асимметрии, мера ско­шенности и эксцесс.

Характеристики положения

Среднее арифметическое значение – одна из основных характеристик вы­борки.

Она, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Точность вычисления по необработанным данным выше, но процесс вычисления оказывается трудоёмким при большом объёме выборки.

Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по формуле:

где n - объем выборки, х 1 , х 2 , ... х n - результаты измерений.

Для сгруппированных данных:

где n - объем выборки, k – число интервалов группировки, n i – частоты интервалов, x i – срединные значения интервалов.

Мода

Определение 1. Мода - наиболее часто встречающаяся величина в данных вы­борки. Обозначается Мо и определяетсяпо формуле:

где - нижняя граница модального интервала, - ширина интервала группи­ровки, - частота модального интервала, - частота интервала, предшествую­щего модальному, - частота интервала, последующего за модаль­ным.

Определение 2. Модой Мо дискретной случайной величины называется наиболее вероятное её значение.

Геометрически моду можно интерпретировать как абсциссу точки максимума кривой распределения. Бывают двухмодальные и многомодальные распределения. Встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимума. Такие распределения называются антимодальными .

Определение. Модальным интервалом называется интервал группировки с наибольшей частотой.

Медиана

Определение . Медиана - результат измерения, который находится в сере­дине ранжированного ряда, иначе говоря, медианой называется значение признака Х , когда одна половина значений экспериментальных данных меньше её, а вторая половина – больше, обозначается Ме .

Когда объем выборки n - четное число, т. е. результатов измерений четное количество, то для определения медианы рассчитывается среднее значение двух показателей выборки, находящихся в середине ранжированного ряда.

Для данных, сгруппированных в интервалы, медиану определяют по фор­муле:

,

где - нижняя граница медианного интервала; ширина интервала группи­ровки, 0,5n – половина объёма выборки, - частота медианного интервала, - накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Определение. Медианным интервалом называется тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объёма выборки (n/ 2) или накопленная частость окажется больше 0,5.

Численные значения среднего, моды и медианы отличаются, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения.

Характеристики рассеяния результатов измерений

Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значе­ния может характеризовать совершенно различные выборки.

Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости ) результатов .

Размах вариации

Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется

R =X max - X min .

Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах вы­борки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов.

Дисперсия

Определение. Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического.

Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле

s 2 = , (1)

где Х i – значение признака, - среднее арифметическое.

Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле

,

где х i – среднее значение i интервала группировки, n i – частоты интервалов.

Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округ­лении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая фор­мула:

для сгруппированных данных:

.

Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы.

Рассеивание случайной величины характеризует её разброс относительно точки математического ожидания. Так как разброс элементов спектра случайной величины происходит по обе стороны от центра рассеивания, то для его учета используют либо четные степени центральных моментов, либо абсолютные центральные моменты. Достаточно рассмотреть центральный момент второго порядка m 2 и абсолютный центральный момент первого порядка t 1 . Первый из них называется дисперсией , а второй – средним отклонением . Изучим их подробнее.

Дисперсия случайной величины Х имеет несколько обозначений:

– ДСВ ;

D(X ) = = m 2 = E ( 2) = (59)

– НСВ ,

Оператор дисперсии D обладает следующими свойствами:

1) D (C ) = 0

2) D (CX ) = C 2 ·D (X ) . (60)

3) D (C +X ) = D (X )

Ситуация с доказательством свойств оператора дисперсии аналогична той, которая была отмечена для оператора математического ожидания. Остановимся на физическом смысле этих свойств.

Первое свойство говорит, что постоянная величина не имеет разброса. Комментарий не требуется.

При изменении масштаба по оси абсцисс (второе свойство ), новое значение дисперсии получается из старого путем умножения последнего на величину квадрата масштабного коэффициента.

Третье свойство дисперсии заключается в том, что при переносе начала координат на величину C по оси абсцисс дисперсия случайной величины не меняется, так как центрирование компенсирует перенос.

Объединение этих свойств выражается реакцию оператора дисперсии на линейное преобразование случайной величины X :

D(C 1 + C 2 ∙ X ) = C 2 2 ∙ D (X ) . (61)

Из определения дисперсии следует, что ее размерность равна квадрату размерности случайной величины, которую она характеризует. Это не всегда удобно для восприятия. Например, если сказать, что некоторое расстояние S = 567,89 м , а его дисперсия D (S ) = 9∙10 -4 м 2 , то сопоставление этих величин, имеющих отличающиеся размерности , не дает представления о точности измерений. Этот факт способствовал использованию дополнительно в качестве характеристики рассеивания другого показателя – стандарта .

Стандарт или среднее квадратическое отклонение (СКО) представляет собой положительное значение квадратного корня из дисперсии и характеризует разброс СВ относительно ее центра рассеивания в тех же единицах, в каких выражена и сама случайная величина:

(62)

Свойства стандарта определяются свойствами дисперсии:

1) s C = 0

2) s CX = C ·s X (63)

3) s C + X = s X

Если теперь мы охарактеризуем ранее приведенное расстояние S=567,89 м стандартом s S =3*10 -2 м , то наше представление о точности этого расстояния будет адекватным.

Среднее отклонение – это абсолютный центральный момент первого порядка для случайной величиныХ , обозначаемый буквой ϑ X и вычисляемый по определению (58) при r = 1 :

– ДСВ ;

ϑ X = τ 1 = E (| |)= (64)

– НСВ .

Свойства среднего отклонения аналогичны свойствам стандарта (убедитесь в этом в качестве Упражнения 2.1 ):

1) ϑ X = 0

2)ϑ CX = |C |·ϑ X (65)

3) ϑ C + X = ϑ X

2.2.6 Примеры одномерных распределений .

Рассмотрим законы распределений некоторых дискретных и непрерывных случайных величин, играющих важную роль в теории и практике.

Индикатор события.

Индикатор события I A представляет собой частный случай испытаний Бернулли. Это дискретная случайная величина, принимающая только два возможных значения 0 и 1 с вероятностями (1 – p ) и p соответственно. Здесь p = P (A ) – вероятность наступления события A , описанного на некотором пространстве W . Рассмотрим все введенные выше характеристики для этой случайной величины в качестве примера и с целью их использования при изучении более сложных законов.

Дано :X = I A = {x 1 = 0; x 2 = 1} ; P (x 1) = P (Ā ) = 1 – p =q ; P (x 2) = P (A ) = p .

Найти : 1) F (I A ) – ? 2) E (I A ) – ? 3) D (I A ) – ? 4) s I – ?

Решение :

1)Функцию распределения разместим в расширенной таблице ряда распределения, как это предложено в (44):

Числовые характеристики определим по формулам (51), (59) и (62):

2)E (I A ) = 0∙q + 1∙p = p ;

3)D (I A ) = =a 2 - = 0 2 ∙q +1 2 ∙p – p 2 = p ∙(1 – p ) = pq ;

4) = .

Индикатор событий используется при изучении повторных испытаний и решении других задач как вспомогательная случайная величина.

2.2.6.2 Равномерное распределение .

В качестве иллюстрации, поясняющей материал раздела 2.2 для непрерывных случайных величин, исследуем непрерывное равномерное распределение на некотором отрезке [a ; b ]. Распределение называется равномерным на отрезке, если его плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю за его пределами. Представим изучение данного распределения в виде решения задачи.

Дано : f (x ) = c , [a ; b ] ; f (x ) = 0 вне этого отрезка.

Найти : 1 ) постоянную плотность распределения c – ?, 2 ) F (x ) – ?, 3 )E (X ) – ?, 4 ) Mo(X ) – ?, 5 ) Me(X ) – ?, 6 ) D (X ) – ?, 7 ) s X – ?, 8 ) ϑ X – ?, 9 )P (x 1 <X <x 2) – ?

Решение : Выполнить самостоятельно в качестве Упражнения 2.2 .

Ответы : 1 ) c = 1 / (b – a ) ; 2 ) F (x ) = (x – a ) / (b – a ) ; 3 ) E (X ) = (a + b )/2 ;

4 ) Mo(X ) – не определена; 5 ) Me(X ) = E (X ) ; 6 ) D (X ) = (b – a ) 2 / 12 ;

7 ) s x = (b – a ) /() ;8 ) ϑ X = (b – a ) / 4 ; 9 ) P (x 1 < X < x 2) = (x 2 – x 1)/(b – a ) , когда ]x 1 ; x 2 [ [a ;b ] .

Графики плотности и функции равномерного распределения представлены на следующих рисунках (Рис.19 и 20 ).

f (x ) F (x )

c

S =1 c =1/

0 a E (X ) b X 0 a E (X ) b X

Рис. 2.19 Плотность равномерного Рис. 2.20 Функция равномерного