Разделы сайта
Выбор редакции:
- Что такое материя и антиматерия?
- Африка полезные ископаемые
- Макс вебер направление или теория
- Десятичные дроби, определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями Дроби десятичные числа простоты
- Презентции на тему афганистан, афганская война, скачать бесплатно к классному часу
- Евгений белаш мифы первой мировой
- Что помешало спасти "титаник"
- Конкурсы Английские конкурсы для детей
- Литературно-музыкальная композиция «Есть такая профессия — Родину защищать
- Городской открытый августовский педагогический совет Тематика проведения педсоветов в году
Реклама
Вычислить предел по правилу лопиталя онлайн. Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления. Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение |
Правило Лопиталя Определение 1 Правило Лопиталя: при некоторых условиях предел отношения функций, переменная которых стремится к $a$, равен пределу отношения их производных, при $x$, также стремящемся к $a$ : $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} $ Правило Лопиталя было открыто шведским математиком Иоганном Бернулли, который затем рассказал в письме о нём Лопиталю. Лопиталь же опубликовал это правило в первом учебнике по дифференциальному исчислению в 1696 году со своим авторством. Правило Лопиталя применяется для выражений, сводимых к неопределенностям следующего вида: $\frac{0}{0} \begin{array}{ccc} {} & {} & {\frac{\infty }{\infty } } \end{array}$ Вместо нуля в первом выражении может быть какая-либо бесконечно малая величина. В общем случае правилом Лопиталя можно воспользоваться, если и в числителе, и в знаменателе одновременно нуль или бесконечность. Условия, при которых можно применять правило Лопиталя:
Доказательство правила Лопиталя:
Алгоритм вычисления решения с использованием правила Лопиталя
Пример № 1: Найти предел: $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} +5x}{3x} $ Решение:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} +5x}{3x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(x^{2} +5x\right)"}{\left(3x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{2x+5}{3} =\frac{0+5}{3} =\frac{5}{3} $ Пример № 2: Найти предел: $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} +2x}{x^{3} -x} $ Решение: Проверим условия применимости правила Лопиталя:
Запишем производную и найдем предел функции: $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} +2x}{x^{3} -x} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(x^{3} -3x^{2} +2x\right)"}{\left(x^{3} -x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3x^{2} -6x+2}{3x^{2} -1} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle $ Повторяем вычисление производной пока не избавимся от неопределенности: $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(3x^{2} -6x+2\right)"}{\left(3x^{2} -1\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{6x-6}{6x} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(6x-6\right)"}{\left(6x\right)"} =\frac{6}{6} =1$ Пример № 3: Найти предел: $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{x} $ Решение: $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(\sin 5x\right)"}{\left(x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{5\cos 5x}{1} =5\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \cos 5x=5$ Пример № 4: Найти предел: $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (1+x^{2})^{1/x} $ Решение: Прологарифмируем функцию: $\ln y=\frac{1}{x} \ln (1+x^{2})=\frac{\ln (1+x^{2})}{x} $ $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\ln (1+x^{2})}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left[\ln (1+x^{2})\right]"}{x"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\frac{2x}{1+x^{2} } }{1} =0$ Поскольку функция $ln(y)$ - непрерывная, получим: $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (\ln y)=\ln (\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y)$ Следовательно, $\ln (\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y)=0$ $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y=1$ $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (1+x^{2})^{1/x} =1$ Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя . Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать. Правило Лопиталя: история и определениеНа самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли . Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли , а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет. Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье. Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места. Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:
Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула: Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна. Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы Раскрытие неопределенностей по правилу ЛопиталяВ раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0 . Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей: Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки. Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием: Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0 : Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0 : Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций: Теперь перейдем к примерам. Пример 1Найти предел по правилу Лопиталя: Пример 2Вычислить с использованием правила Лопиталя: Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а , то правило Лопиталя можно применять несколько раз. Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз: Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам . Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения. Для решения пределов существуют различные методы решений и формулы. Но самым быстрым и легким способом, а также универсальным является метод Лопиталя. Для того, чтобы успешно пользоваться этим замечательным простым способом вычисления пределов достаточно хорошо уметь находить производные различных функций. Начнём с теории. Сформулируем правило Лопиталя. Если:
тогда существует $ \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} $
Примеры решения
Подведем итог: Правило Лопиталя - это способ и метод благодаря которому можно раскрывать неопределенности вида $ \frac{0}{0} $ и $ \frac{\infty}{\infty} $ при вычислении пределов. Суть его состоит в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций.
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей значительно упрощается с помощью правила Лопиталя. Суть правила Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат. Вообще, под правилами Лопиталя понимаются несколько теорем, которые могут быть переданы в следующей одной формулировке. Правило Лопиталя . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности (1) Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный). В равенстве (1) величина , к которой стремится переменная, может быть либо конечным числом, либо бесконечностью, либо минус бесконечностью. К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов. Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность" Пример 1. Вычислить x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя: Пример 2. Вычислить Решение. Подстановка в заданную функцию значения x Пример 3. Вычислить Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя: Пример 4. Вычислить Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя: Замечание. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д. Пример 5. Вычислить Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞. Пример 6. Вычислить
15. Правила Лопиталя* Швейцарский математик Иоганн I Бернулли (1667-1748) после успешного окончания Базельского университета, путешествуя по Европе, в 1690 году приезжает в Париж. В литературном салоне философа Никола Мальбранша (1638-1715) Иоганн знакомится с французским математиком маркизом Гийомом Франсуа Антуаном де Лопиталем (1661-1704). В ходе оживленной беседы Лопиталь удивился, как легко, “как бы играя”, юнец Бернулли решал трудные задачи по новому исчислению. Поэтому Лопиталь попросил прочитать ему несколько лекций. Устные беседы понравились Лопиталю, и он за приличный гонорар стал получать материалы в письменном виде. Заметим, что общеизвестное теперь “правило Лопиталя” для раскрытия неопределенностей также было передано ему Иоганном. Уже в 1696 году появился знаменитый трактат Лопиталя “Введение в анализ бесконечно малых для понимания кривых линий”. Вторая часть курса, изложенного Иоганном I Бернулли, была опубликована лишь в 1742 году и называлась “Математические лекции о методе интегралов и другие; написаны для знаменитого маркиза Госпиталия; годы 1691-1692”. В 1921 году были обнаружены рукописные копии лекций, написанные рукой Иоганна I Бернулли, оригиналы которых были переданы Лопиталю в 1691-1692 гг. Из них ученые неожиданно обнаружили, что Лопталь в своем “Анализе” почти не отступал от лекций своего молодого учителя. Теорема (Коши). Пусть функции и непрерывны на , дифференцируемы на и . Тогда : Доказательство. Рассмотрим функцию Выберем так, чтобы выполнялись все условия теоремы Ролля, т.е. . По теореме Ролля существует : Первое правило Лопиталя Определение. Пусть функции , непрерывны на , дифференцируемы в , причем . Пусть . Тогда говорят, что отношение при представляет собой неопределенность вида . Теорема. Применим теорему Коши к отрезку , где . Существует : и, значит, Это и означает, что . В случае, когда бесконечно, неравенство (1) заменяется на в зависимости от знака . В остальном доказательство не меняется. Второе правило Лопиталя Определение. Пусть функции , непрерывны и дифференцируемы в , причем . Пусть . Тогда говорят, что отношение при представляет собой неопределенность вида . Теорема. Если при указанных условиях существует Доказательство. Пусть конечно. По выберем : в интервале выполняется неравенство Определим функцию из условия при . Применим к отрезку теорему Коши. Получим, что существует : Для тех , для которых Так как произвольно мало, то В случае, когда , неравенство (2) заменяется на а неравенство (4) – на неравенство имеющим место при , достаточно близких к a в силу (3). Аналогично рассматривается случай . |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Африка полезные ископаемые
- Макс вебер направление или теория
- Десятичные дроби, определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями Дроби десятичные числа простоты
- Презентции на тему афганистан, афганская война, скачать бесплатно к классному часу
- Евгений белаш мифы первой мировой
- Что помешало спасти "титаник"
- Конкурсы Английские конкурсы для детей
- Литературно-музыкальная композиция «Есть такая профессия — Родину защищать
- Городской открытый августовский педагогический совет Тематика проведения педсоветов в году
- Примеры стилей текста: калейдоскоп вариаций речи